Author: Joël Gauvain
Date: 25 Mars 2013

Nouvelle fonction

1

2

3

a=

α=

β =

Valider

\text{1° Déterminez a, }\alpha\text{ et }\beta\text{ tels que pour tout réel }x\text{ on ait :}

f(x)=\text{a}(x-\alpha)^2+\beta\,.

\text{2° Sélectionnez  la figure qui caractérise le mieux la courbe de }f.

Valider

Faux

\text{3° Sélectionnez le type de tableau de signes associé à }f.

Valider

Faux

\text{4° Déterminer le réel } β'\text{ tel que pour tout réel } x \text{ on ait:}

?

β' =

Valider

\text{Le travail est terminé pour cet énoncé.}

\text{4° Compléter le tableau de signe en donnant la valeur de }x_0\,.

?

x_0=

x_0

Valider

\text{Le travail est terminé pour cet énoncé.}

?

b =

Valider

?

?

c =

d =

Valider

\text{7° Déterminez les valeurs }x_1\text{ et }x_2\text{ présentes dans le tableau de }  

\text{signes de }f(x).

?

?

x_1=

x_2=

x_1

x_2

Valider

\text{Le travail est terminé pour cet énoncé.}

\text{On doit avoir }x_1<x_2

\text{On vous demande } b\text{ positif.}

Réalisation Joël Gauvain
Lycée René Josué Valin
La Rochelle

\text{a}=

\alpha=

\beta=

\beta'=

b=

c=

d=

x_1=

x_2=

Commencer la série d'exercices

f(x)=\fgcolor{ff0000}{\text{a}}x^2\fgcolor{004000}{-2\text{a}\alpha} x+\fgcolor{5000ff}{\text{a}\alpha^2+\beta}\

\ovalbox{\beta=f(\alpha)}

\text{a}>0\text{ et }\beta<0

\text{a}>0\text{ et }\beta=0

\text{a}>0\text{ et }\beta>0

\text{a}<0\text{ et }\beta<0

\text{a}<0\text{ et }\beta=0

\text{a}<0\text{ et }\beta>0

\text{Observez l'allure de la courbe pour }

\text{déterminer le signe de }f(x)\,.

\text{a}\left((x-\alpha)^2-\beta'\right)=\text{a}(x-\alpha)^2-\text{a}\beta'=\text{a}(x-\alpha)^2+\beta

\text{donc } -\text{a}\beta'=\beta\,.

b^2=\beta' \text{  et  } b>0\text{  donc  } b=\sqrt{\beta'}\,.

\text{Utilisez l'identité remarquable } A^2-B^2=(A+B)(A-B)

x_0=

Voir la courbe

Voir la courbe

Voir la courbe

\text{Le sommet de la parabole a pour }

\text{coordonnées }{(\alpha\,;\,\beta\,)\,.

\text{Si a}>0\text{  , }\beta\text{ est le minimum de } f \,.

\text{Si a}<0\text{ , }\beta\text{ est le maximum de }f\,.

f(\alpha) =\beta=0\,.

f(x)=\text{a}(x-\alpha)^2+\beta\, \text{    équivaut successivement à :}

f(x)=\text{a}\left(x^2-2\alpha x+\alpha^2\right)+\beta

\text{On peut trouver }\beta\text{ en remplaçant a et }\alpha\text{ par leur valeurs dans la} 

\text{troisième équation, mais on peut aussi utiliser la relation :}

\text{Si }f(x)=\text{a}x^2+bx+c  \text{ alors }\fgcolor{004000}{ -2\text{a}\alpha}=b

Généralisation →

\text{donc } \ovalbox{\alpha=-\frac{b}{2\text{a}}}

\ovalbox{\text{Dernier exercice}}

rα: (-2)
tαf = SurdText(rα, {3.141592653589793})
tαf1 = If(rα ≠ 0, tαf, "")
rβ: 3
tβf = SurdText(rβ, {3.141592653589793})
zβ = If(rβ > 0, "+" + tβf, If[rβ  <  0, tβf, ""])
zα2 = If(rα  <  0, tαf, "")
zα1 = If(rα > 0, "+" + tαf, "")
zp1 = If(rα ≠ 0, "\left(", "")
zp2 = If(rα ≠ 0, "\right)", "")
ra: 1
taf = SurdText(ra, {3.141592653589793})
za = If(ra ≟ 1, "", taf)
rc: -3 / 2
tcf = SurdText(rc, {3.141592653589793})
tcf0 = If(rc ≠ 0, tcf, "")
zc = If(rc > 0, "+", "")
rd = NaN
tdf = SurdText(rd, {3.141592653589793})
tdf0 = If(rd ≠ 0, tdf, "")
zd = If(rd > 0, "+", "")
rb = NaN
gb2 = If(IsInteger[rb], "", "\right)")
gb1 = If(IsInteger[rb], "", "\left(")
zα = If(rα > 0, "+" + tαf1, tαf1)
tbf = SurdText(rb, {3.141592653589793})
m' = 1
m = 2
m2 = -5
k = 0
a = If(k ≟ 0, m2, (m * m'))
gp2 = If(a ≠ 1, "\right)", "")
gp1 = If(a ≠ 1, "\left(", "")
t' = 1
p = -1
p' = -3
t = 3
A = (3.26, 3.48)
voira2: false
voira1: false
voira0: false
voirb0: false
voirb1: false
voirb2: false
c = If(k ≟ 0, (m2 * t^(2)) + (t' * abs(m2) / m2), (p * p'))
b = If(k ≟ 0, ((-2 * m2) * t), (m * p') + (p * m'))
b': b / a
c': c / a
fb' = SurdText(b', {3.141592653589793})
fc' = SurdText(c', {3.141592653589793})
texte2: "f(x)=" + (LaTeX[a]) + "\left(x^2+" + (LaTeX[fb']) + "x+" + (LaTeX[fc']) + "\right)"
α: ((-b')) / 2
β: c' - b'^(2) / 4
fα = SurdText(α, {3.141592653589793})
fβ = SurdText(β, {3.141592653589793})
texte3: "f(x)=" + (LaTeX[a]) + "\left(\left(x-" + (LaTeX[fα]) + "\right)^2" + (LaTeX[fβ]) + "\right)"
bx = If(b ≟ 1, "+x", If[b ≟ -1, "-x", If[b > 0, "+" + b + "x", If[b  <  0, "" + b + "x", ""]]])
ax2 = If(a ≟ 1, "x^2", If[a ≟ -1, "-x^2", a + "x^2"])
cx0 = If(c > 0, "+" + c, If[c  <  0, "" + c, ""])
texte1: "f(x)=" + (LaTeX[ax2]) + "" + (LaTeX[bx]) + "" + (LaTeX[cx0]) + ""
ChampTexte1 = Textfield(ta)
ChampTexte2 = Textfield(tα)
ChampTexte3 = Textfield(tβ)
candef: Defined[ra] ∧ Defined[rα] ∧ Defined[rβ] ∧ (ra ≠ 0)
justecan: ra ≟ a ∧ rα ≟ b / ((2 * a)) ∧ rβ ≟ c - (a * rα^(2))
valider1: false
texte4: "f(x)=" + (LaTeX[za]) + "" + (LaTeX[zp1]) + "x" + (LaTeX[zα1]) + "" + (LaTeX[zα2]) + "" + (LaTeX[zp2]) + "^2" + (LaTeX[zβ]) + ""
C = Corner(texte4, 2)
D = Corner(texte4, 3)
E: (D + C) / 2
juste2: voira2 ∧ (ra > 0) ∧ (rβ  <  0) ∨ voira1 ∧ (ra > 0) ∧ rβ ≟ 0 ∨ voira0 ∧ (ra > 0) ∧ (rβ > 0) ∨ voirb0 ∧ (ra  <  0) ∧ (rβ  <  0) ∨ voirb1 ∧ (ra  <  0) ∧ rβ ≟ 0 ∨ voirb2 ∧ (ra  <  0) ∧ (rβ > 0)
valider2: false
etape = 1
voirtaba0: false
voirtaba1: false
voirtaba2: false
voirtabb0: false
voirtabb1: false
voirtabb2: false
B = (1.96, 1.68)
juste3: voira0 ∧ voirtaba0 ∨ voira1 ∧ voirtaba1 ∨ voira2 ∧ voirtaba2 ∨ voirb0 ∧ voirtabb0 ∨ voirb1 ∧ voirtabb1 ∨ voirb2 ∧ voirtabb2
valider3: false
ChampTexte4 = Textfield(tβ')
β' = NaN
tβ'f = SurdText(abs(β'), {3.141592653589793})
zβ' = If(β'  <  0, "+", "-")
texte12: "f(x)=" + (LaTeX[za]) + "" + (LaTeX[gp1]) + "" + (LaTeX[zp1]) + "x" + (LaTeX[zα]) + "" + (LaTeX[zp2]) + "^2-\beta'" + (LaTeX[gp2]) + ""
texte13: "f(x)=" + (LaTeX[za]) + "" + (LaTeX[gp1]) + "" + (LaTeX[zp1]) + "x" + (LaTeX[zα]) + "" + (LaTeX[zp2]) + "^2" + (LaTeX[zβ']) + "" + (LaTeX[tβ'f]) + "" + (LaTeX[gp2]) + ""
valider4: false
F = Corner(texte13, 2)
G = Corner(texte13, 3)
H = Midpoint(G, F)
juste4: β' ≟ (b^(2) - ((4 * a) * c)) / ((4 * a^(2)))
ChampTexte5 = Textfield(tx_0)
x_0 = NaN
x_0f = SurdText(x_0, {3.141592653589793})
X_0f = If(Defined[x_0], x_0f, "x_0")
texte16: "" + (LaTeX[x_0f]) + ""
texte18: "" + (LaTeX[x_0f]) + ""
valider41: false
juste41: x_0 ≟ α
texte20: "\text{5° Déterminez le réel }b \text{ positif tel que }f(x)=" + (LaTeX[za]) + "" + (LaTeX[gp1]) + "" + (LaTeX[zp1]) + "x" + (LaTeX[zα]) + "" + (LaTeX[zp2]) + "^2-b^2" + (LaTeX[gp2]) + ""
ChampTexte6 = Textfield(tb)
juste5: rb ≟ sqrt((b^(2) - ((4 * a) * c)) / ((4 * a^(2))))
texte21: "f(x)=" + (LaTeX[za]) + "" + (LaTeX[gp1]) + "" + (LaTeX[zp1]) + "x" + (LaTeX[zα]) + "" + (LaTeX[zp2]) + "^2-" + (LaTeX[gb1]) + "" + (LaTeX[tbf]) + "" + (LaTeX[gb2]) + "^2" + (LaTeX[gp2]) + ""
J = Corner(texte21, 3)
I = Corner(texte21, 1)
K = Corner(texte21, 4)
L = Midpoint(K, I)
valider5: false
M = Corner(texte21, 2)
N = Midpoint(J, M)
ChampTexte7 = Textfield(tc)
ChampTexte8 = Textfield(td)
texte23: "f(x)=" + (LaTeX[za]) + "\left(x" + (LaTeX[zc]) + "" + (LaTeX[tcf0]) + "\right)\left(x" + (LaTeX[zd]) + "" + (LaTeX[tdf0]) + "\right)"
O = Corner(texte23, 1)
P = Corner(texte23, 2)
Q = Corner(texte23, 3)
R = Corner(texte23, 4)
S = Midpoint(R, O)
T = Midpoint(Q, P)
juste6: rc ≟ rα - rb ∧ rd ≟ rα + rb ∨ rd ≟ rα - rb ∧ rc ≟ rα + rb
texte22: "\text{6° Déterminez deux réels }c\text{ et }d\text{ tels que } f(x)=" + (LaTeX[za]) + "(x+c)(x+d)"
valider6: false
x_1 = NaN
x_2 = NaN
ChampTexte9 = Textfield(tx1)
ChampTexte10 = Textfield(tx2)
tx1f = SurdText(x_1, {3.141592653589793})
tx2f = SurdText(x_2, {3.141592653589793})
texte26: "" + (LaTeX[tx1f]) + ""
texte27: "" + (LaTeX[tx2f]) + ""
texte28: "" + (LaTeX[tx2f]) + ""
texte29: "" + (LaTeX[tx1f]) + ""
valider7: false
juste7: (x_1 ≟ (-rc) ∧ x_2 ≟ (-rd) ∨ x_2 ≟ (-rc) ∧ x_1 ≟ (-rd)) ∧ (x_1  <  x_2)
fin: false
texte34: "" + (LaTeX[tx1f]) + ""
texte33: "" + tx1f + ""
texte35: "" + (LaTeX[tx2f]) + ""
texte36: "" + (LaTeX[tx2f]) + ""
U = (1.82, 1.08)
d: x = x(U)
demar: false
aide1: false
montreaide1: false
aide2: false
montreaide2: false
montreaide3: false
montreaide4: false
montreaide5: false
montre6 = true
montreaide6: false
g = Function((0.5 * ((a * ((2 * (x + 4.5)))^(2)) + ((b * 2) * (x + 4.5)) + c)) + 2.5, -11, 1.5)
liste2 = Sequence(Segment[(-4.5, -2 + (0.5 * s)), (-4.6, -2 + (0.5 * s))], s, 0, 18, 1)
V = Point(e)
W = Point(e)
u = Vector(V, W)
Z = Point(f)
A_1 = Point(f)
v = Vector(A_1, Z)
liste1 = Sequence(Segment[(-10 + (0.5 * s), 2.5), (-10 + (0.5 * s), 2.5 - 0.1)], s, 0, 22, 1)
voircourbe: false
aide41: false
juste72: (x_1 ≟ (-rc) ∧ x_2 ≟ (-rd) ∨ x_2 ≟ (-rc) ∧ x_1 ≟ (-rd)) ∧ (x_1 > x_2)
montreaide7: false
texte70: "f(x)=0\text{  si et seulement si   }x" + (LaTeX[zc]) + "" + (LaTeX[tcf0]) + "=0\text{  ou   } x" + (LaTeX[zd]) + "" + (LaTeX[tdf0]) + "=0\,."
texte73: "\text{Pour avoir } f(x)=" + (LaTeX[ax2]) + "" + (LaTeX[bx]) + "" + (LaTeX[cx0]) + ""
texte50: "\text{il suffit d'avoir : }\fgcolor{ff00000}{ \text{a}}=" + (LaTeX[a]) + "\text{  et  }\fgcolor{005000}{-2\text{a}\alpha}=" + (LaTeX[b]) + "\text{  et  }\fgcolor{500ff}{\text{a}\alpha^2+\beta}=" + (LaTeX[c]) + "\,."
texte74: "\text{On trouve }\alpha\text{ en remplaçant a par } " + (LaTeX[a]) + "  \text{ dans la deuxième équation}"
alphaf = SurdText(α, {3.141592653589793})
texte77: "\alpha=" + (LaTeX[alphaf]) + ""
montreaide11: false
betaf = SurdText((β * a), {3.141592653589793})
texte78: "\beta=" + (LaTeX[betaf]) + ""
montreaide12: false
montreaide13: false
texte81: "\text{a}=" + (LaTeX[a]) + ""
texte82: "" + (LaTeX[texte77]) + ""
B_1 = Corner(texte82, 2)
C_1 = Corner(texte82, 3)
D_1 = Midpoint(C_1, B_1)
grade = 1.5
gain = 1
numexo = 3
texte83: "Score : " + grade + " / " + numexo + ""
gain1 = 0.5
gain2 = 0.5
juste31: juste3 ∧ (etape > 2) ∧ valider3 ∧ (voirtaba0 ∨ voirtabb0)
notemax: 5