Figure Géoplan
Numéro de version: 2

Début de [Dichotomie pour f(x)=0 entre a et b]
f0 fonction donnée
a0 réel donné
b0 réel donné
a = min(a0,b0)
b = max(a0,b0)
N = 24
h = b-a
s = µ(f0(a)<0)-µ(f0(a)>=0)
f fonction: x|->sf0(x)
u suite définie à partir de 0 par u(n)=(u(n-1)+h/2^n)µ(f(u(n-1)+h/2^n)<0)+(u(n-1))µ(f(u(n-1)+h/2^n)>=0) et le premier terme a
v suite définie à partir de 0 par v(n)=µ(abs(f(u(n)))>0.0001 et n<N)
n indice du premier terme nul de la suite v
x = u(n)/µ(n<N)
Description de l'interface
x racine de f0 (dichotomie a0 , b0 )
fonction:
nombre réel a:
nombre réel b:
Résultat (nombre réel):
Aide particulière non écrite.
Fin de [Dichotomie pour f(x)=0 entre a et b]

Début de [Fonction inverse (par dichotomie)]
f fonction donnée
x0 réel donné
x1 réel donné
t variable muette
g fonction: x|->f(x)-t
x racine de g (dichotomie x0 , x1 )
Description de l'interface
y inverse f (dichotomie x0 , x1 )
Antécédent 1 (fonction):
Antécédent 2 (nombre réel):
Antécédent 3 (nombre réel):
Résultat (fonction):
Aide particulière non écrite.
Fin de [Fonction inverse (par dichotomie)]

Position de Roxy: Xmin: -3.0695662677, Xmax: 3.0695662677, Ymax: 3.0695662677
Objet dessinable Roxy, particularités: gris foncé, dessiné

A point libre
   Objet libre A, paramètres: 1.44883527835, 1.48567007357
   Objet dessinable A, particularités: marque épaisse
a abscisse de A (repère Roxy)
b ordonnée de A (repère Roxy)
f fonction: x|->axabs(x)+b
F graphe de f sur [-5,5] (400 points, repère Roxy)
   Objet dessinable F, particularités: bleu, points liés
g inverse f (dichotomie -4 , 4 )
G graphe de g sur [-5,5] (400 points, repère Roxy)
   Objet dessinable G, particularités: rose, points liés

Sélection pour trace: F, G

A la place de A, afficher: pilote

Commentaire

$g$r InverseDichotomie $n$N

On trouve dans cet exemple deux prototypes : le premier pour rechercher les 
zéros d'une fonction d'une variable par la méthode de dichotomie (ce prototype 
utilise une suite et l'indice du premier terme nul) ; le deuxième (qui fait appel au 
premier) permet d'inverser de manière approchée une fonction  inversible.

$G$kSituation$N$n

On a créé une famille de fonction f d'expressions f(x) = ax\abs(x)\ + b où a et b 
sont les coordonnées d'un point du plan dit ici "point pilote". La fonction f est 
inversible pour a distinct de 0. Son inverse g est calculée de manière approchée 
en résolvant, pour chaque y, l'équation f(x) = y par la méthode de dichotomie.

$G$kActions prévues$N$n

Le point "pilote" est modifiable à la souris (ses coordonnées déterminent la 
fonction inversible dont la courbe est représentée en bleu ; la fonction inverse 
est représentée en rose).

$G$kCommentaire sur la réalisation$N$n

Le prototype "Dichotomie pour f(x)=0 entre a et b" permet de résoudre de 
manière approchée une équation du type f(x) = 0 sur un intervalle [a ; b] (ceci 
suppose que l'on ait auparavant "séparé" les racines). 
Il utilise une suite (\u_n\) définie de la façon suivante : pour une fonction f, 
croissante définie et continue sur [a,b] et telle que f(a) < 0 et f(b) > 0, on pose 
h = b-a et
\ u_0\ = a ; \ u_n\ = \ u_(n-1)\ si \ f((u_(n-1) + h/(2^n))) >= 0 \; \ u_n\ = = \ u_(n-1)+ h/(2^n)\ si \ f((u_(n-1) + h/(2^n))) < 0 \

On souhaite arrêter l'itération dès que la valeur de la fonction est inférieure à 
\1/1000\, c'est à dire dès que \abs(f((u_n)))\ > 0.001 devient faux, soit encore 
dès le premier indice n tel que µ(\abs(f((u_n)))\) > 0.001) est nul. 
On introduit donc une suite (\v_n\), le premier indice n pour lequel \v_n\ est nulle puis une 
valeur approchée convenant x = \u_n\.
Examiner le texte du prototype dans le texte de la figure : outre les 
suites précédemment décrites, on y trouvera un coefficient s permettant de 
prendre en compte le cas d'une fonction décroissante et une limitation à 23 
pour l'indice n.
Le deuxième prototype "Fonction inverse (par dichotomie)" se comprend 
aisément en lisant son texte.
Fin de la figure