Figure Géoplan
Numéro de version: 2

Début de [Fonction quotient euclidien de 2 nombres]
a variable muette
b variable muette
q = int(a/b)
Prototype non accessible par le menu
Description de l'interface
quot fonction quotient euclidien
Nom de la fonction :
a dividende et b diviseur doivent être entiers naturels.
Fin de [Fonction quotient euclidien de 2 nombres]

Début de [Fonction reste Euclidien de 2 nombres]
a variable muette
b variable muette
qu fonction quotient euclidien
r = a-b*qu(a,b)
Prototype non accessible par le menu
Description de l'interface
rest fonction reste euclidien
Nom de la fonction :
a dividende et b diviseur doivent être des entiers naturels.
Fin de [Fonction reste Euclidien de 2 nombres]

Début de [PGCD de 2 nombres]
a variable muette
b variable muette
c = max(abs(a),abs(b))
e = min(abs(a),abs(b))
re fonction reste euclidien
u suite définie à partir de 0 par u(n)=re(u(n-2),u(n-1)) et les premiers termes c et e
n indice du premier terme nul de la suite u
d = u(n-1)
Prototype non accessible par le menu
Description de l'interface
pgcd fonction Plus Grand Diviseur Commun
nom de la fonction:
a et b doivent être des entiers naturels.
Fin de [PGCD de 2 nombres]

Position de Roxy: Xmin: 15.95856110095, Xmax: 35.61631313873, Ymax: 28.23904511166
Objet dessinable Roxy, particularités: rouge, avec quadrillage, dessiné

M1 point libre à coordonnées entières (repère Roxy)
   Objet libre M1, paramètres: 18, 21
M2 point libre à coordonnées entières (repère Roxy)
   Objet libre M2, paramètres: 23, 12
M3 point libre à coordonnées entières (repère Roxy)
   Objet libre M3, paramètres: 32, 20
T polygone M1M2M3
A aire du triangle M1M2M3 (unité de longueur Uoxy)
xM1 abscisse de M1 (repère Roxy)
xM2 abscisse de M2 (repère Roxy)
xM3 abscisse de M3 (repère Roxy)
yM1 ordonnée de M1 (repère Roxy)
yM2 ordonnée de M2 (repère Roxy)
yM3 ordonnée de M3 (repère Roxy)
x12 = xM2-xM1
y12 = yM2-yM1
x23 = xM3-xM2
y23 = yM3-yM2
x31 = xM1-xM3
y31 = yM1-yM3
f fonction Plus Grand Diviseur Commun
n31 = f(x31,y31)
n12 = f(x12,y12)
n23 = f(x23,y23)
u' = n12+n23+n31+3-µ(xM2=xM1 et yM2=yM1)-µ(xM3=xM1 et yM3=yM1)-µ(xM2=xM3 et yM2=yM3)
x = u'+µ(xM3=xM1 et yM3=yM1)*µ(xM2=xM3 et yM2=yM3)*µ(xM2=xM1 et yM2=yM1)

Hauteur de la zone des affichages: 79
Af0 affichage du texte: le triangle a pour aire $KA=val( A,1)$n
   Position de l'affichage Af0: (2,21)
Af1 affichage du texte: Il y a $kx=val(x)$n points entiers sur la frontière;
   Position de l'affichage Af1: (2,1)
Af2 affichage du texte: donc d'après le théorème de Pick, $ry$n=$Kval(A,1)$n-$k\val(x)/2\$n+1,
   Position de l'affichage Af2: (2,42)
Af3 affichage du texte: soit $ry=val(-x/2+A+1)$n points intérieurs entiers.
   Position de l'affichage Af3: (380,51)
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Commentaire
Le théorème de Pick permet de manière originale de connaître l'aire d'un polygone 
à sommets entiers dont deux côtés non consécutifs ont une intersection vide
et dont deux côtés consécutifs ont pour intersection le singleton constitué de 
leur extrêmité commune.
Si $k$gx$m$n est le nombre de points entiers sur la frontière du polygone,
si $r$gy$m$n est le nombre de points entiers dans son intérieur strict, et enfin 
si $K$gA$m$n est l'aire du polygone, alors:
   $g$KA$n=$k\x/2\+$ry$n-1  $m$n, ou, si $g$KA$n$m et $g$kx$n$m sont connus, 
   $g$ry$n=$KA$k-\x/2\+1$m$n
Dans notre exemple, le polygone est un triangle \M_1M_2M_3\ non aplati.
Géoplan permet de connaître directement l'aire $KA$n d'un triangle;
le nombre $kx$n peut être connu par trois calculs de PGCD (cf. le 
texte de la figure : on y définit par prototype une fonction PGCD, puis on l'applique aux
coordonnées des trois vecteurs \vec(M1,M2)\,\vec(M2,M3)\,\vec(M3,M1)\).
On peut donc faire afficher le nombre de $ry$n de points entiers intérieurs au triangle.
Fin de la figure