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Association pour
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Didactique
Centre de
Recherche et
d'Expérimentation pour
l'Enseignement des
Mathématiques

Les fonctions cosinus et sinus
§4 et 5
Date de mise à jour : 1/1/2003

Classe | Prénom et Nom | Prénom et Nom

4. Fonction cosinus

Définition

La fonction cosinus est définie sur IR et à tout réel x, elle associe cos(x).

Propriétés

On démontre que :

1. La fonction cosinus est périodique de période 2p : | pour tout réel x, cos( x + 2p) = cos(x).

2. La fonction cosinus est paire : | pour tout réel x, cos( -x ) = cos(x).

Construction de la courbe de la fonction cosinus

Dans la figure 1a, le point M est associé au réel x sur le cercle trigonométrique et a = cos(x). Dans la figure 1b, on a construit le point C d'abscisse x et d'ordonnée a.

Construire la courbe |  | Lorsque x varie dans la figure 1a, les valeurs de x et a sont transmises à la figure 1b. Le point C décrit alors la courbe de la fonction cosinus.

Pour construire la courbe, appuyer sur le bouton ci-dessus, rendre la figure 1a active en cliquant sur son dessin, modifier la valeur de x à l'aide du clavier pour voir la courbe demandée se tracer.

Figure 1a

Figure 1b Courbe de la fonction cosinus

Observer la courbe Illustrer la périodicité de la fonction

Interprétation graphique de la périodicité de la fonction cosinus
Pour chaque point P de la courbe de la fonction cosinus, son image par la translation de vecteur 2p
appartient encore à la courbe. On dit que la courbe de la fonction cosinus est invariante par la translation de vecteur 2p
.

5. Fonction sinus

Définition

La fonction sinus est définie sur IR et à tout réel x, elle associe sin(x).

Propriétés

On démontre que :

1. La fonction sinus est périodique de période 2p : | pour tout réel x, sin( x + 2p) = sin(x).

2. La fonction sinus est impaire : | pour tout réel x, sin( -x ) = - sin(x).

Construction de la courbe de la fonction sinus

Dans la figure 2a, le point M est associé au réel x sur le cercle trigonométrique et b = sin(x). Dans la figure 2b, on a construit le point S d'abscisse x et d'ordonnée b.

Construire la courbe |  | Lorsque x varie dans la figure 2a, les valeurs de x et b sont transmises à la figure 2b. Le point S décrit alors la courbe de la fonction sinus.

Pour construire la courbe, appuyer sur le bouton ci-dessus, rendre la figure 2a active en cliquant sur son dessin, modifier la valeur de x à l'aide du clavier pour voir la courbe demandée se tracer.

Figure 2a

Figure 2b Courbe de la fonction sinus

Observer la courbe Illustrer la périodicité de la fonction

Interprétation graphique de la périodicité de la fonction sinus
Pour chaque point Q de la courbe de la fonction sinus, son image par la translation de vecteur 2p
appartient encore à la courbe. On dit que la courbe de la fonction sinus est invariante par la translation de vecteur 2p
.

Exercice 4

Sur la figure 3, la courbe G est la courbe représentative de la fonction sinus. Pour chaque point M de la courbe G, on considère le point M', image de M par la translation de vecteur
. Lorsque M décrit la courbe G, M' décrit une courbe G' qui est représentée dans la figure. On dit que G' est l'image de G par la translation de vecteur
.
Le point A est fixe et le point B est libre.

Modifier la position du point B pour que G' soit la courbe de la fonction cosinus.

La position de B peut être modifiée en le saisissant avec la souris. Après avoir activé la figure 3, le point B peut aussi être piloté au clavier. En appuyant sur la touche M, c'est le point M qui devient pilotable au clavier. Appuyer ensuite sur la touche B pour pouvoir de nouveau piloter B au clavier.

Figure 3