Figure Géospace
Numéro de version: 1

Uxyz par rapport à la petite dimension de la fenêtre: 0.02203594749
Rotations de Rxyz: verticale: -50.0978520286 horizontale: 28.62007926616 frontale: -129.11593184442
Paramètres de position de Rxyz: 0.4463, 0.5304

c réel libre
   Objet libre c, paramètre: -21.66928261644
d réel libre
   Objet libre d, paramètre: 25.53071738356
t réel libre de [0,2pi]
   Objet libre t, paramètre: 0.65133223538
f2 fonction: t|->c*(sin(t)²-1/2)
f3 fonction: t|->d*(cos(t+sin(t)²/2)²-1/2)
O point de coordonnées (0,f2(t),f3(t)) dans le repère Rxyz
   Dessin de O: nom à droite, marque épaisse, non dessiné
a réel libre
   Objet libre a, paramètre: -2.86928261644
b réel libre
   Objet libre b, paramètre: -2.55303436704
R fonction: s|->a+4*b*sin(2s+sin(s)²)/5
vec(w) (0,(f2(t+0.01)-f2(t))/0.01,(f3(t+0.01)-f3(t))/0.01) (repère Rxyz)
O' image de O par la translation de vecteur vec(w)
   Dessin de O': marque épaisse, non dessiné
C point de coordonnées (R(t),f2(t),f3(t)) dans le repère Rxyz
   Dessin de C: non dessiné
Co cercle d'axe (OO') passant par C
   Dessin de Co: trait épais, non dessiné
L point libre sur le cercle Co
   Objet libre L, paramètre: -2.18744245272
   Dessin de L: nom à gauche, non dessiné
B lieu du point L, pilotes t et L (40 x 30 points)
   Dessin de B: couleur RVB(64,128,255), points liés
W courbe paramétrée par X=0, Y=f2(t), Z=f3(t), t décrivant [0,2*pi] (500 points, repère Rxyz)
   Dessin de W: points liés, non dessiné

Cm2 (touche A) sélection de a pour pilotage au clavier
Cm3 (touche B) sélection de b pour pilotage au clavier
Cm4 (touche C) sélection de c pour pilotage au clavier
Cm5 (touche D) sélection de d pour pilotage au clavier
Cm0 (touche Espace) dessin en bloc de W, O, Co, L
Cm1 (touche Espace) sélection de t pour pilotage au clavier

Pilotage en boucle pour: t

Objet libre actif au clavier: d

Sélection pour trace: Co

Commentaire
$g$r BouteilleKlein $n$N

$G$kSituation$N$n

Surface de l'espace n'ayant qu'une seule face et 
pas de bord, la bouteille de Klein est bien connue des 
personnes qui fréquentent les mathématiques. Elle est, 
dans ce fichier,  représentée par un maillage, obtenu 
comme lieu de point avec deux pilotes. 
Le premier pilote est un réel  t ; le deuxième pilote est 
un point de l'espace dépendant du premier pilote. 
Le principe est de créer une surface engendrée par le 
mouvement d'un cercle de rayon éventuellement variable 
qui revient sur lui-même après rotation d'un demi-tour.

$G$kActions prévues$N$n

Quatre paramètres a ,b, c et d permettent d'agir sur la 
forme de la bouteille. Ces paramètres sont  pilotables 
avec les flèches du clavier après les avoir sélectionnés 
avec les commandes suivantes :
  $p$gtouche A$n$N pour piloter a,
  $p$gtouche B$n$N pour piloter b,
  $p$gtouche C$n$N pour piloter c,
  $p$gtouche D$n$N pour piloter d.

Une commande fonctionnant en mode bascule
 $p$gtouche espace$n$N
permet de visualiser la construction de la bouteille
et de piloter au clavier le pilote t.

Par ailleurs et comme  toujours, la souris ou une combinaison 
de touches du clavier permettent d'observer différentes vues 
de la figure.

$G$kCommentaire sur la réalisation$N$n

Une courbe paramétrée fermée périodique ayant un point 
de rebroussement tourné vers l'extérieur détermine le profil 
de la bouteille.
A partir d'un point O décrivant cette courbe, de paramètre t 
choisi dans l'intervalle [0,2~p], on construit un cercle Co centré 
en O, dans un plan orthogonal à la tangente au profil, de rayon 
variable R(t). 
La fonction R doit être de même période que la courbe paramétrée 
et, bien sûr, positive ; cette fonction va déterminer le rayon de  
la bouteille en chaque point du profil.
On trouvera les équations de la courbe paramétrée et l'expression
de la fonction R dans la brochure ou dans le texte de la figure.
Elles dépendent de quatre coefficients réels a et b (pour le rayon)
c et d (pour la courbe) ce qui permet de modifier la forme de la 
bouteille.
Un point L est défini comme point libre sur le cercle Co. 
La bouteille de Klein est alors définie comme lieu du point L 
avec comme pilotes le paramètre réel t et le point L.
Fin de la figure