AID exemples d'utilisation des contrôles ActiveX : Equations différentielles d'ordre 1

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Tracé des courbes intégrales d'une équation différentielle du premier ordre

de la forme y'(x)= f(x,y(x))
Comparaison des méthodes d'Euler et de Runge-Kutta.

1- La méthode d'Euler

Cette méthode est la plus simple des méthodes numériques à un pas: elle consiste à confondre tangente à une courbe et courbe sur des intervalles de petite taille. Partant d'un point A(xA,yA) on construit une ligne polygonale de proche en proche, en se contentant de respecter d'une part une contrainte de continuité et d'autre part une suite d'équations (Ei) du type
qui définissent la direction du prochain petit segment.
Si l'on choisit de prendre simplement pour suite des abscisses la suite arithmétique définie par x(i+1)=x(i)+h et x(0)= xA, alors les équations (Ei) permettent de définir une suite d'ordonnées (y(i)), comme une suite récurrente d'ordre 1 vérifiant à tous les rangs i>0 , y(i+1) = y(i) + h f '(xA+ih , y(i)) et initialisée à y(0)=yA .
La "vraie" courbe intégrale est alors approchée par une ligne polygonale brisée, dont les erreurs successives risquent, pour certaines équations instables, d'être invalidantes lorsque l'on s'éloigne trop du point A, seul point sûrement exact.

Nous avons réalisé dans la figure 1 cette méthode pour h >0 et h<0 ; nous obtenons de la sorte deux courbes connectées en A.

La fonction f(x,y) =
qui définit le champ de l'équation différentielle peut être modifiée. Il suffit pour changer f de double-cliquer sur son expression, pour ensuite saisir la nouvelle expression, sortir de l'éditeur en cliquant sur le menu appliquer, puis à la figure la nouvelle équation différentielle à traiter.

Vous pouvez piloter le point A à la souris. Pour garder la trace de la courbe : touche T; les zones attractives ou répulsives liées à la fonction f apparaissent alors clairement. Pour tracer le champ globalement : touche A; sortir du mode trace: Echap.

2- La méthode de Runge-Kutta

La méthode de Runge-Kutta, comme la précédente, est une méthode numérique à un pas; elle peut éventuellement invalider des tracés faits avec la méthode d'Euler, car elle est plus précise. Pour calculer le point
, on utilise également la solution
comme une valeur initiale, sans tenir compte des valeurs calculées précédemment, mais avec des pondérations correctives qui ressemblent à la méthode d'intégration numérique de Simpson.

On ne devrait pas dire "la" mais "les" méthodes de Runge-Kutta , car nous n'en donnons qu'une variante dite d'ordre 4, qui calcule à chaque itération
puis

Remarquez qu'il y a quatre évaluations de la fonction f par itération, contre une seule pour la méthode d'Euler. Le temps de calcul supplémentaire est largement récompensé par un gain en précision.

Dans cette figure comme dans la précédente, vous pouvez saisir une autre expression pour la fonction f :
f(x,y) =
; n'oubliez pas de la à la figure 2.

Pour alterner visualisation des courbes obtenues par l'une ou l'autre des deux méthodes : Touche B.
Une des deux courbes intégrales (en vert : Runge-Kutta , en bleu: Euler) partant de A est tracée, vous pouvez piloter le point A à la souris. Pour garder la trace de la courbe : touche T; les zones attractives ou répulsives liées à la fonction f apparaissent alors clairement. Pour tracer le champ globalement : touche A; sortir du mode trace: Echap.
Pour piloter le nombre N de pas entre le point A et la verticale passant par B : touche N et flèches du clavier.

Les amateurs de Géoplan seront allés comparer les textes des deux figures, et auront peut-être remarqué que dans le premier cas, nous avons choisi de représenter les courbes en tant que graphes de fonction, et que dans le second cas, nous avons opté pour des graphes de suites, dans un repère approprié.