Figure Géoplan
Numéro de version: 2

Position de Roxy: Xmin: -2.3677443282, Xmax: 2.3677443282, Ymax: 2.3677443282
Objet dessinable Roxy, particularités: rouge, non dessiné

c point libre
   Objet libre c, paramètres: -0.14487154589, 0.05885406552
   Objet dessinable c, particularités: non dessiné
C0 cercle de centre c et de rayon 1 (unité Uoxy)
   Objet dessinable C0, particularités: trait épais
M0 point libre sur le cercle C0
   Objet libre M0, paramètre: 1.63147951013
   Objet dessinable M0, particularités: bleu, marque épaisse
B1 point libre sur le cercle C0
   Objet libre B1, paramètre: -0.3263984262
   Objet dessinable B1, particularités: bleu, marque épaisse
C1 cercle de centre M0 passant par B1
   Objet dessinable C1, particularités: bleu
A1 point d'intersection des cercles C0 et C1 autre que B1
   Objet dessinable A1, particularités: bleu
C21 cercle de centre B1 et de rayon B1M0 (unité Uoxy)
   Objet dessinable C21, particularités: rouge
C22 cercle de centre A1 et de rayon A1M0 (unité Uoxy)
   Objet dessinable C22, particularités: rouge
M1 point d'intersection des cercles C21 et C22 autre que M0
   Objet dessinable M1, particularités: rouge, marque épaisse
C3 cercle de centre M1 passant par M0
B2 point d'intersection 1 des cercles C1 et C3
A2 point d'intersection 2 des cercles C1 et C3
C42 cercle de centre A2 passant par M0
C41 cercle de centre B2 passant par M0
S point d'intersection des cercles C41 et C42 autre que M0
   Objet dessinable S, particularités: marque épaisse

Hauteur de la zone des affichages: 61
Af0 affichage du texte: Le point S, lorsqu'il existe, ne varie pas lorsqu'on pilote \B_1\ ou \M_0\;
   Position de l'affichage Af0: (2,1)
Af1 affichage du texte: et pour cause: S est invariablement le centre du cercle tracé en trait épais
   Position de l'affichage Af1: (2,26)

Objet libre actif au clavier: B1
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Commentaire
$Y$SPré-requis$m: $nNous supposons que le lecteur a quelques connaissances sur
l'inversion de pôle S et de puissance le réel non nul k, transformation involutive du plan 
qui à un point M différent de S associe le point M' de la droite (SM) qui vérifie 
\bar(SM)\. \bar(SM')\=k; si k est strictement positif, alors l'ensemble des points invariants 
par l'inversion est le cercle ~G de centre S et de puissance \rac(k)\; 
ce cercle ~G caractérisant alors  l'inversion, on parlera d'inversion de cercle ~G.
$nCette figure donne une solution possible au problème dit de Napoléon:
$vretrouver le centre d'un cercle à l'aide du compas seul$n.
L'existence d'une solution est assurée par le théorème de Mohr-Mascheroni:
$k$gTout point constructible à la règle et au compas est constructible au compas seul.$n$m

La validité de la solution proposée peut-être établie à l'aide de l'inversion associée 
au cercle donné.
$kLemme: 
Soit I l'inversion associée à un cercle donné ~G.
L'image par I d'une droite (d) ne passant pas par le centre O du cercle ~G 
est un cercle passant par O dont le diamètre issu de O est  perpendiculaire à (d)
dont le centre a pour image le symétrique de O par rapport à (d).$n
On laisse la démonstration de ce lemme au lecteur. 
Soit \C_0\ le cercle donné dont on cherche le centre c.
On se réfèrera au texte de la figure pour avoir les définitions des autres points et cercles.
On applique le lemme une première fois avec ~G=$k\C_1\$n : on a alors I(\C_0\)=(\B_1A_1\); 
l'inversion étant involutive, on a également \C_0\=I((\B_1A_1\)), 
et I(c)=symétrique de \M_0\  par rapport à (\B_1A_1\)=\M_1\    $g$r(i)$n$m
On applique le lemme une deuxième fois, toujours avec ~G=$k\C_1\$n , mais en s'intéressant 
cette fois à I(\C_3\)=(\B_2A_2\); l'inversion étant involutive, on a également 
\C_3\=I((\B_2A_2\)), et I(\M_1\)=symétrique de \M_0\  par rapport à (\B_2A_2\)=S  $g$r(ii)$n$m

Du fait des deux équations $g$r(i)$n$m et $g$r(ii)$n$m , on a:
S=I(\M_1\)=I(I(c))=(IoI)(c)=c    $gCQFD$m

Notons que le point libre \B_1\ qui détermine  le rayon du cercle \C_1 \
n'est pas tout à fait quelconque: il ne faut tout de même pas trop le rapprocher de M, 
point libre sur \C_0 \ et centre de \C_1 \.
Fin de la figure