AID exemples d'utilisation des contrôles ActiveX : Courbes dans l'espace

Association pour l'Innovation Didactique Centre de Recherche et d'Expérimentation pour l'Enseignement des Mathématiques

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Dans le texte suivant, les figures sont des figures-Géospace, donc interactives :

En cliquant sur une figure, on la rend active (ceci se voit au fait qu'elle est alors encadrée). Quand une figure est ainsi active, alors

- elle lit les touches enfoncées du clavier;
- à l'aide de la souris bouton droit enfoncé, on fait tourner la maquette virtuelle;
- on peut faire tourner la maquette virtuelle au clavier (Maj-Flèches);
- pour chaque figure, on peut faire apparaître son menu en double-cliquant dessus;

Courbe gauche
Illustration

Introduction

On suppose l'espace repéré par un repère orthonormal (o,
,
,
). Dans les figures, les axes sont représentés par ox, oy et oz. Le but de ce document est de permettre la visualisation dans l'espace de certaines notions de base concernant les courbes en géométrie. Il ne remplace pas le cours, il le résume et l'illustre de manière interactive.

Notion de courbe dans l'espace

Soient trois fonctions x, y et z. Soit une variable réelle u. Pour chaque valeur de u telle que les trois nombres x(u), y(u) et z(u) existent, ces trois nombres sont les coordonnées d'un point de l'espace. Quand u prend toutes les valeurs possibles, alors l'ensemble de ces points forme une courbe. On appellera M le point variable de coordonnées (x(u),y(u),z(u)).

Figure 1 La figure ci-contre montre la courbe définie par avec -1 £ u £ 1 Après avoir cliqué sur la figure, on peut piloter la variable u avec les flèches du clavier. | Figure Géospace n°1

Figure 2 La figure ci-contre montre la courbe définie par avec -p £ u £ p Après avoir cliqué sur la figure, on peut piloter la variable u avec les flèches du clavier. | Figure Géospace n°2

Tangente, vecteur vitesse

Soit une courbe C définie comme précédemment. Posons
.

La dérivée
du vecteur
, qui a donc pour coordonnées (x'(u),y'(u),z'(u)) est un vecteur
, tangent à la courbe en M. Si u est le temps, alors
est le vecteur vitesse de M.

Figure 3 La figure ci-contre montre la courbe définie par avec -1 £ u £ 1 Le vecteur vitesse est représenté en vert. Après avoir cliqué sur la figure, on peut piloter la variable u avec les flèches du clavier. | Figure Géospace n°3

Accélération, plan osculateur

La dérivée seconde
de
est interprétable, si u est le temps, comme le vecteur accélération.

Le plan contenant M et les représentants de
et de
issus de M est le plan osculateur à la courbe en M.

Figure 4 La figure ci-contre montre la courbe définie par avec -1 £ u £ 1 Le plan osculateur en M est figuré par le rectangle. Après avoir cliqué sur la figure, on peut piloter la variable u avec les flèches du clavier. | Figure Géospace n°4

On démontre, à l'aide de la formule de Taylor, que quand M est un point "ordinaire" de la courbe, celle-ci traverse le plan osculateur en M.

Figure 5

La figure ci-contre montre la courbe définie par

avec -8p £ u £ 8p

Il s'agit d'un morceau d'hélice.

Le plan osculateur en M est figuré par le rectangle.

Après avoir cliqué sur la figure, on peut piloter la variable u avec les flèches du clavier.

Figure Géospace n°5

Le trièdre de Frenet

Soit s l'abscisse curviligne; rappelons la relation

ds2 = dx2+dy2+dz2

Dans l'exemple (volontairement simple) de la figure 6, cette relation s'écrit

ds2 = (1+4u2+4u4)du2

c'est-à-dire

ds = (1+2u2)du

Le vecteur
est un vecteur unitaire tangent en M à la courbe.
Le vecteur
est relié au vecteur vitesse par la relation
Dans l'exemple

Figure 6 La figure ci-contre montre la courbe définie par avec -1 £ u £ 1 Le vecteur unitaire est représenté en bleu. Après avoir cliqué sur la figure, on peut piloter la variable u avec les flèches du clavier. | Figure Géospace n°6

Le vecteur
est un vecteur normal à la courbe et il est contenu dans le plan osculateur en M.
Appelons
le vecteur unitaire de même direction et de même sens que
.

On pose
. On définit ainsi un repère orthonormal d'origine M de base (
,
,
) qui est le repère de Frenet en M.

Figure 7 La figure ci-contre montre la courbe définie par avec -1 £ u £ 1 Le trièdre de Frenet est représenté en bleu. Après avoir cliqué sur la figure, on peut piloter la variable u avec les flèches du clavier. | Figure Géospace n°7

Courbure, cercle osculateur

Appelons R l'inverse de la norme de
, on a la relation
.

R est le rayon de courbure de la courbe en M et son inverse est la courbure en M.

La droite passant par M de vecteur directeur
est la normale principale à la courbe en M.
Le cercle situé dans le plan osculateur et dont le centre a pour coordonnées (0,R,0) dans le repère de Frenet est le cercle osculateur en M à la courbe.

Figure 8 La figure ci-contre montre la courbe définie par avec -1 £ u £ 1 Le trièdre de Frenet est représenté en bleu et le cercle osculateur en vert. Après avoir cliqué sur la figure, on peut piloter la variable u avec les flèches du clavier. | Figure Géospace n°8