Figure Géoplan
Numéro de version: 2

Position de Roxy: Xmin: -3.07640670112, Xmax: 1.97427282884, Ymax: 2.68248080436
Objet dessinable Roxy, particularités: rouge, non dessiné

O point de coordonnées (0,0) dans le repère Roxy
C cercle de centre O et de rayon 1 (unité Uoxy)
   Objet dessinable C, particularités: ciel, tireté
U point de coordonnées (1,0) dans le repère Roxy
L1 point libre sur le cercle C
   Objet libre L1, paramètre: 1.79839164504
   Objet dessinable L1, particularités: non dessiné
L2 image de L1 par la symétrie d'axe (OU)
   Objet dessinable L2, particularités: non dessiné
a arc d'origine L1 et d'extrémité L2 sur le cercle C
   Objet dessinable a, particularités: rouge, tireté
P point libre sur l'arc a
   Objet libre P, paramètre: 0.32969713462
C1 cercle de centre P et de rayon 1.5 (unité Uoxy)
   Objet dessinable C1, particularités: non dessiné
C2 cercle de centre U et de rayon 3 (unité Uoxy)
   Objet dessinable C2, particularités: non dessiné
B point d'intersection 1 des cercles C1 et C2
A point d'intersection 2 des cercles C1 et C2
C3 cercle de centre A et de rayon 1.5 (unité Uoxy)
   Objet dessinable C3, particularités: non dessiné
C4 cercle de centre B et de rayon 1.5 (unité Uoxy)
   Objet dessinable C4, particularités: non dessiné
Q point d'intersection des cercles C3 et C4 autre que P
   Objet dessinable Q, particularités: bleu
Segment [UA]
   Objet dessinable [UA], particularités: trait épais
Segment [UB]
   Objet dessinable [UB], particularités: trait épais
Segment [PB]
   Objet dessinable [PB], particularités: trait épais
Segment [PA]
   Objet dessinable [PA], particularités: trait épais
Segment [BQ]
   Objet dessinable [BQ], particularités: trait épais
Segment [QA]
   Objet dessinable [QA], particularités: trait épais
Segment [OP]
   Objet dessinable [OP], particularités: trait épais
L réel libre de [0,5]
   Objet libre L, paramètre: 2.1031178401
V réel libre de [L,2*L]
   Objet libre V, paramètre: 4.1844712443

Sélection pour trace: Q
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Commentaire
$Y$SPré-requis$m: $nNous supposons que le lecteur a quelques connaissances sur
l'inversion de pôle U et de puissance le réel non nul k, transformation involutive du plan 
qui à un point M différent de U associe le point M' de la droite (UM) qui vérifie 
\bar(UM)\. \bar(UM')\=k; $n on suppose en particulier que le lecteur sait qu'une inversion 
transforme un cercle passant par le pôle U en une droite.
$gL'inverseur de $kPeaucellier$n$m est un système articulé qui permet de tracer un segment de droite 
sans règle. Quelle que soit la position du point libre P sur un arc de cercle, le quadrilatère
articulé APBQ est un losange de côté d. 
On constate en pilotant P à la souris que le point Q a une trajectoire rectiligne.
On démontre comme suit que Q est l'image de P par une inversion de pôle U.
Les diagonales du losange APBQ se coupent perpendiculairement en leur milieu commun I.
Comme par construction UA=UB=L, les quatre points U,P, I et Q sont alignés dans cet ordre.
Par suite
UP.UQ=\vec(U,P)&vec(U,Q)\
    =\(vec(U,A)+vec(A,I)+vec(I,P))&(vec(U,A)+vec(A,I)+vec(I,Q))\
    =L²+\2vec(U,A)&vec(A,I)\+\vec(U,I)&(vec(I,P)+vec(I,Q))\+\vec(I,P)&vec(I,Q)\+AI²
    =L²-2AI²+\vec(U,I)&vec(0)\-IP²+AI²
    =L²-AI² -IP²
    =L²-d²
    =constante k
Si comme ici on contraint P à rester sur un arc de cercle d'un cercle qui passe 
par le centre U de l'inversion, alors la trajectoire de Q est un segment de droite,
ce que l'on peut visualiser en basculant en mode trace.
Fin de la figure