AID exemples d'utilisation des contrôles ActiveX : Convolution - Dirac

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Convolution par la distribution de Dirac d
Illustration

Il s'agit d'illustrer de manière un peu intuitive le fait que d est élément neutre pour le produit de convolution.

## La situation

On sait que la fonction porte converge vers la distribution de Dirac d quand a tend vers 0. Sur la figure Geoplan ci-contre, la fonction est représentée en bleu. Après avoir activé la figure en cliquant dessus, on peut faire varier a par les flèches du clavier. |

Soit f une fonction et soit h = f * ga le produit de convolution de ga avec f .

h(x) =
.

Comme est nulle en dehors de [
] et vaut
dans cet intervalle, on a

h(x) =
.

En faisant le changement de variable x - t = u

h(x) =
=

Si F est une primitive de f, alors

h(x) =

c'est à dire que h(x) est la valeur moyenne de F sur [
]. Or
, qui peut se lire aussi

ce qui est cohérent avec le fait que d est l'élément neutre de la convolution : f * d = f

##
Exemple illustré

Sur l'exemple la courbe représentant f est en bleu, celle représentant h en rouge. On peut voir sur la figure le phénomène de convergence de h vers f en diminuant a au moyen de la flèche gauche du clavier après avoir cliqué sur la figure. vous pouvez changer l'expression de f en cliquant sur Appliquer dans une des cases : |
Appliquer | Appliquer | Appliquer | Appliquer | Appliquer