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l'Enseignement des
Mathématiques

Les fonctions cosinus et sinus
§2
Date de mise à jour : 1/1/2003

Classe | Prénom et Nom | Prénom et Nom

2. Cosinus et sinus d'un réel

Définition

Pour chaque réel x, soit M le point associé à x sur le cercle trigonométrique dans le repère
• le cosinus de x noté cos(x) est égal à l'abscisse de M,
• le sinus de x noté sin(x) est égal à l'ordonnée de M.

Soit H le projeté orthogonal de M sur l'axe des abscisses et K le projeté orthogonal de M sur l'axe des ordonnées.
cos(x) =
et sin(x) =

Observer les valeurs de cos(x) et sin(x) lorsque x varie.

Cliquer sur le dessin de la figure 1 pour la rendre active puis
• modifier le réel x avec les flèches du clavier
• appuyer sur la barre d'espace pour donner à x la valeur 0.

Figure 1

Exercice 1

Pour chaque valeur de x du tableau ci-dessous, calculer les valeurs exactes de cos(x) et sin(x). Comparer le résultat à la valeur affichée dans la figure ci-dessus pour la même valeur de x puis contrôler les valeurs avec le bouton de test.

• Dans chaque case du tableau, pour entrer une valeur ou pour la modifier, double-cliquer à l'emplacement du point d'interrogation ou de l'expression déjà écrite.
• Pour donner à x une valeur dans la figure 1, double-cliquer sur son dessin pour obtenir le menu, puis sélectionner successivement les options de menu Piloter, Affecter une variable libre. Le nombre p s'obtient en tapant pi.

x | 0 |  |  |  |
cos(x) |  |  |  |  |
sin(x) |  |  |  |  |

Propriétés

1. Pour tout réel x, -1 £ cos(x) £ 1 et -1 £ sin(x) £ 1.
2. Pour tout réel x, cos2(x) + sin2(x) = 1.

Remarque : on note cos2(x) le carré du nombre cos(x), donc cos2(x) = [cos(x)]2.

3. Pour tout réel x et pour tout entier relatif k, cos(x + kx2p)= cos(x) et sin(x + kx2p)= sin(x).

Exercice 2

Soit a un réel tel que cos(a) = – 0,3 et un réel b tel que sin(b) = 0,84.

Sur la figure ci-contre créer un point P du cercle trigonométrique associé au réel a et un point Q du cercle trigonométrique associé au réel b.

Cliquer sur le dessin de la figure 2 avec le bouton majuscule enfoncé pour faire apparaître son menu.

Pour construire P associé au réel a, il faut trouver un point du cercle dont l'abscisse est cos(a) c'est à dire dont l'abscisse est -0.3. Plusieurs méthodes sont possibles avec GeoplanW. • Tous les points ayant pour abscisse -0.3 sont situés sur une droite dont on connait une équation. P est obtenu alors comme point d'intersection d'une droite et d'un cercle. • On peut calculer une ordonnée possible du point P et construire P grâce à ses coordonnées.